第一章 代数运算与自然数
主要内容：
1、集合与映射的概念
2、映射及其运算
3、代数系统
4、自然数及其他相关定义
5、归纳法原理与反归纳法的运用
重点掌握
1、由A→B的单映射σ的定义为：设
，就推出，则称为从A到B的单映射。
2、由A→B的满映射σ的定义为：设，则称为从A到B的满映射。
3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象
4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：②：.
7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①：;②：
8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为a>b或b<a.
9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N.
10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为。
12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：。
13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。
14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。
15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。
16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。
可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与有关的映射
17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。
可考虑分段映射
18、代数系统(,)与代数系统(R,+)是同构的，其中表示正实数集合，R表示实数集合，与+就是通常的实数乘法与加法。
根据同构定义，只需找到一个从(,)到(R,+)的一一映射，例如lgx就可以证明上述论述。
19、令为正有理数集合，若规定 ， 则：
（1）{,}构成代数体系，但不满足结合律。
（2）{,}不构成代数体系，但满足结合律。
根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。
20、若在实数集合中规定=a+b-a×b，其中+与×是通常的加法与乘法，则满足结合律。
只需证明等式（）c=成立
21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。
归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,都成立，假设命题对n=k成立，令，利用证之成立
第二章 不等式
主要内容：
1、一些初等不等式的证明
2、几个著名不等式：柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明
3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用
4、凸函数的性质与应用
重点掌握：
1、等号成立的条件为：
2、柯西不等式等号成立的条件为：
3、f(x)为上凸函数的定义为：对任意的有:,其中，则称f(x)为上凸函数。
4、f(x)=（x>0），g(x)=sin x（0<x<），k(x)=㏑x 中，上凸函数为：f(x)=，g(x)=sin x, k(x)=㏑（x）
5、f(x)=（其中x>0），则当0<k<1时，f(x)为下凸函数。
6、y=lg x则y是上凸函数 .
7、函数（其中0<x<）和=㏑x为上凸函数，=（其中，k>1）为下凸函数。
8、
9、不等式（）（++……），其中0，i=1，2，……n成立。
可利用柯西不等式证之成立
10、若a>b>c>0且a+b+c=1，则2abc存在极大值，为；若已知a×b×c=1，则2a+b+4c存在极小值，为6。
利用均值不等式（算术平均值大于等于几何平均值）可算得2abc极大值为，2a+b+4c的极小值为6.
11、若x>0,y>0,z>0且满足9+12+5=9 ,则3x+6y+5z存在极大值，为9。
利用柯西不等式易知3x+6y+5z的极大值为9，其中。
12、若x>0,y>0,z>0且满足3++=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：。
利用柯西不等式易知2x+3y+4z的极大值为，其中。
13、若x>0,y>0,z>0且满足3+4+5=20 ，则9x+16y+7z存在极大值，为：。
利用柯西不等式易知9x+16y+7z的极大值为，其中。
14、若x>0,y>0,z>0。且满足2+3+4=10，则5x+6y+7z存在极大值，为：。
利用柯西不等式易知5x+6y+7z的极大值为，其中。
15、若x>0,y>0,z>0。且满足+2+3=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：。
利用柯西不等式易知2x+3y+4z的极大值为，其中。
16、若x>0,y>0,z>0，且满足2+3+4=10，则3x+4y+5z存在极大值，为。
利用柯西不等式易知3x+4y+5z的极大值为，其中。
17、不等式 ++…+成立，其中++…+=1 ,, i=1,2…n。
可令，则易知为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。
18、若0<k<1,则有其中=1,且，i=1,2,…n。
可令，易证在为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。
19、半径为R的圆内接n边形中，以正n边形的面积最大。
设其内接n边形的面积为S,n边形各边所对应的圆心角为，则
，再根据sinx在上是上凸函数可知上面论述成立。
第三章 多项式与环
主要内容：
1、不可约因式与素因式的概念
2、因式分解唯一环的概念及实例
3、多项式的代数定义与分析定义
4、对称多项式
5、基本定理证明
6、一元三次方程与一元四次方程的根
7、多项式的零点估计
8、重因式与结式
9、施斗姆定理
重点掌握：
1、举出一个交换环的例子：如剩余类环。
2、环的理想定义为：如果R是一个整环，，为R的子环，若对任意的均有，则称N为R的理想。
3、剩余类环中可逆元素为:。
4、剩余类环中非可逆元素为: 。
5、中的可逆元素为: 。
6、在剩余类环中不可逆的元素为: 。
7、整环中因式分解不是唯一的例子是:例如：在整环中，。
8、在二阶方阵环（实数域上）中找出两个零因子，如：。
9、剩余类环中的真零因子有。
10、素元素的定义为:设R为整环，若也不是可逆元素。若由就可推出或，这时我们称p为素元素。
11、不可约元素的定义为：设R为整环，也不是可逆元素，且若就可推出a是可逆元素或者b是可逆元素，这时我们称c是不可约元素。
12、整数环Z上的代数元与超越元分别举出二例：例如1，是Z上的代数元，是Z上的超越元。
13、π为有理数域上的超越元。
14、是有理数域上的代数元。
15、Z[x]（Z是整数环）是因式分解唯一环。
16、在整环R={a+b | a∈Z，b∈Z }中2是不可约元素。
因为在R中，
17、有理系数n次多项式在有理数域内最多有n个根。
18、在环R={a+b| aZ bZ}中，2是不可约元素，但不是素元素，且R是整环。
根据定义以及反例：可知2是不可约元素，但不是素元素。
19、若数域F含有无穷多个元素，则域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。
从代数观点出发推得其相对应系数也应该相等，即从函数论观点得证；反之，若从函数论观点出发，将两函数相减所得为一个次数不超过这两个函数次数n的多项式，因此它至多在F内有n个根，由已知数域F含有无穷多个元素，f(x)-g(x)有无限多个根，与前面至多在F内有n个根矛盾，因此f(x)-g(x)的系数必须全为0，因此其相对应系数都相等。
20、若数域F只有P个元素，则从分析观点出发F上的多项式只有有限个。
域F上的任意一个多项式都是F上的函数，如果能证明F上的不同函数最多有有限个即可。设f(x)为F上的函数，，这时就有p种选择, 也有p种选择，…，也有p种选择。所以F上的不同函数共有个，为有限个。
21、在中，存在一个多项式f(x)使得f()=，f()=。
例如（）()
22、在剩余类环中，（）()=的根为。
将中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。
23、在中, 共有四个根：。
将中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。
24、在剩余类环中的根为：。
将中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。
25、若环R={| m∈Z，k∈Z}，则R是整环，且R中的所有可逆元素和不可约元素分别为：和，其中p为奇素数。
根据定义易证R是整环，R中的所有可逆元素和不可约元素分别为：和，其中p为奇素数。
26、整数环是主理想环。
根据定义易证上面叙述成立。
27、存在这样的一个整环：在这个环中因式分解不是唯一的，且可以找出一个是不可约元素而不是素元素的元素。
在环R={a+b| aZ bZ}中，2是不可约元素，但不是素元素
28、若R是因式分解唯一环，则下面两式成立：
（1）、((a,b),c) ~ (a,(b,c)) （2）、(ab, ac) ~ a(b,c)
根据相伴的定义易证
第四章 排列与组合
主要内容：
1、初等排列与组合
2、排列与组合模型公式
3、筛法原理
4、筛法原理应用
5、递推公式与筛法原理初等证明
6、拉姆斯定理
重点掌握：
1、展开后合并同类项共有66项。
展开后每一项都是10次多项式，它的不同项实际上是从3个元素x,y,z中取10个元素（允许重复取）的方法数，即n个元素取r个元素（可重复取）的组合数。）
2、+= 。
3、……+=m的非负整数解的个数为。
上述方程解的个数就是n个元素取m个元素（可重复取）的组合数。
4、++=10方程的非负整数解的个数为66。
上述方程解的个数就是n个元素取m个元素（可重复取）的组合数。
5、n个数码的扰乱排列总数为：。
利用公式：
7、5个人收5封信谁也不收自己的信共有44种方法.
即求5个数码的扰乱排列总数,利用公式
8、从n 个元素中取n+1个元素（允许重复取）有种方法。
n个元素取r个元素（可重复取）的组合数
9、多项式展开合并同类项后（1）共有455项（2）的系数为27720。
（1） 展开后每一项都是12次多项式，它的不同项实际上是从4个元素中取12个元素（允许重复取）的方法数，即n个元素取r个元素（可重复取）的组合数。
（2） 如果S中含有个相同的；个相同的；…个相同的，且，则S中的全排列个数为。
10、展开多项式后合并同类项共有455项，的系数为7920。
(1)展开后每一项都是12次多项式，它的不同项实际上是从4个元素中取12个元素（允许重复取）的方法数，即n个元素取r个元素（可重复取）的组合数。
(2)如果S中含有个相同的；个相同的；…个相同的，且，则S中的全排列个数为。
11、上11阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有144种不同的方法。
可将上台阶的方法分为上11阶，其中每步都迈1阶，共迈10步；只有一步迈2阶，其余9步迈1阶；只有两步迈2阶，其余迈1阶；…；只有五步迈2阶。分别计算这几种方式分别有几种不同的方法，将结果加起来即可，因此所有的方法加起来为。
12、上12阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有233种不同的方法
方法同上11题，结果为：。
13、n对夫妻一起跳舞，则刚好有k对夫妻为舞伴的方法有种
应为：k对夫妻为舞伴，剩余n-k对夫妻为扰乱排列的总数。
14、从8个数字中取3个数字，但不准取连续两个数字的方法有16种（其中1和8这两个数字也算连续数字）。
利用公式，其中，表示从n个数码中取k个数码，但不允许取连续两个数码（1和n算连续数码）的方法数。
15、从10个数码中取出2个数码，但不准取连续2个数码，其中1和10也是连续数码，共有35种方法。
方法同上题14。
16、从不大于100的正整数中，能被2，或3，或5整除的自然数共有74个。
利用容斥原理，设表示能被k整除而不大于100的自然数集合，则所求即为，结果为50+33+20-16-10-6+3
17、在1—-200的整数中，能被2或者3或者7整除的整数个数为：142。
方法同上题16，利用容斥原理，设表示能被k整除而不大于200的自然数集合，则所求即为，结果为100+66+28-33-14-9+4。
18、从1—-1000整数中求能被2，或者3或者7整除的整数个数为714。
方法同上题16，利用容斥原理，设表示能被k整除而不大于1000的自然数集合，则所求即为，结果为500+333+142-166-71-47+23。
19、求出1—10000中，能被3，或5，或7整除的自然数共有5429个 。
方法同上题16，利用容斥原理，设表示能被k整除而不大于10000的自然数集合，则所求即为，结果为3333+2000+1428-666-476-285+95。
3
＋＋＋＋＋＋
≠）≠＋b ＋b22+……＋bn xnānxnn ānxnānxnān
f（xßß ß ßß ß
P
ai∈
4 4 3 n 3 4 n 3 4 n 3 4 n 2 31111 1 3 4 n 2 4 n 2 3 4 n
2 3 4 n 2 3 4 n 4 n 1 2 3n n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n
1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4
、、……、a 2、……
（+2++……+anbn)2≤（……+）（b1、b2、……bn）
、
∈a∈a∈AAa∈Aa∈Aa∈Aa∈A⊆⊆⊆⊆⊆⊆（A∪B）（A∪C）
⊿A→A→≠≠≠≠≠⊿⊿⊿⊿⊿ΦΦΦΦΦΦΦΦ｛｝（A）（A）（A）（A）∣∣∪∪∪∪∪∪∈∈∈
a，，ī，f（）=ō2+ō=ō，，f（x）=x =（x－1）
f（x）=x f（x）=（x－1）
a 0＋a1b ＋a2b2+……＋an bn=0⊆⊆⊆⊆⊆⊆（A∪B）（A∪C）⊿⊿⊿A→A→A→A→1≠≠≠≠⊿⊿⊿⊿⊿⊿
+22+……+n2= =12+22+……+n2=12+22+……+n2=12+22+……+n2=ΦΦΦΦΦΦΦΦ｛｝（A）（A）（A）（A）∣∣∣∣∣∣∣∪∣∣∣∪∣∣∣∣∪∪∪∪∪∪∈∈∈∈b≥a
b≥ab≥ab≥a f′f′
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